समाधान x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=14$$

$$y=9$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 7,3 को लघुत्तम समापवर्त्यक 21 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+7y=105$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 14 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-x+42y=364$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+7y=105$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$3x=-7y+105$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

\frac{1}{3} लाई -7y+105 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

-\frac{7y}{3}+35 लाई x ले अर्को समीकरण -x+42y=364 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

-1 लाई -\frac{7y}{3}+35 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

42y मा \frac{7y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

समीकरणको दुबैतिर 35 जोड्नुहोस्।

$$\frac{133}{3}y=399$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{133}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=9$$

x=-\frac{7}{3}y+35 मा y लाई 9 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

-\frac{7}{3} लाई 9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-21+35$$

-21 मा 35 जोड्नुहोस्

$$x=14$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=14,y=9$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 7,3 को लघुत्तम समापवर्त्यक 21 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+7y=105$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 14 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-x+42y=364$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=14,y=9$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 7,3 को लघुत्तम समापवर्त्यक 21 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+7y=105$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 14 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-x+42y=364$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3x-7y=-105 बाट -3x+126y=1092 घटाउनुहोस्।

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

3x मा -3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3x र 3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-7y-126y=-105-1092$$

-126y मा -7y जोड्नुहोस्

$$-133y=-105-1092$$

-1092 मा -105 जोड्नुहोस्

$$-133y=-1197$$

दुबैतिर -133 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=9$$

-x+42y=364 मा y लाई 9 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x+42\times 9=364$$

42 लाई 9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-x+378=364$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 378 घटाउनुहोस्।

$$-x=-14$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=14$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=14,y=9$$