Løs {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Løs for x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Trekk fra 5y fra begge sider.

$$x-5y=5$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$x-5y=5$$

Legg til 5y på begge sider av ligningen.

$$x=5y+5$$

Sett inn 5+5y for x i den andre formelen, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Multipliser 6 ganger 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Legg sammen 30y og -4y.

$$26y+30=7$$

Trekk fra 30 fra begge sider av ligningen.

$$26y=-23$$

Del begge sidene på 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Sett inn -\frac{23}{26} for y i x=5y+5. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Multipliser 5 ganger -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Legg sammen 5 og -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Trekk fra 5y fra begge sider.

$$x-5y=5$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseligningen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Trekk fra 5y fra begge sider.

$$x-5y=5$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

For å gjøre x og 6x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 6 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Forenkle.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Trekk fra 6x-4y=7 fra 6x-30y=30 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Legg sammen 6x og -6x. Leddene 6x og -6x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-30y+4y=30-7$$

Legg sammen -30y og 4y.

$$-26y=30-7$$

Legg sammen 30 og -7.

$$-26y=23$$

Del begge sidene på -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Sett inn -\frac{23}{26} for y i 6x-4y=7. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Multipliser -4 ganger -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Trekk fra \frac{46}{13} fra begge sider av ligningen.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Del begge sidene på 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$