Løs {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Løs for x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$8x+2y=46$$

Trekk fra 2y fra begge sider av ligningen.

$$8x=-2y+46$$

Del begge sidene på 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Multipliser \frac{1}{8} ganger -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Sett inn \frac{-y+23}{4} for x i den andre formelen, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Multipliser 7 ganger \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Legg sammen -\frac{7y}{4} og 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Trekk fra \frac{161}{4} fra begge sider av ligningen.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{5}{4}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=\frac{27}{5}$$

Sett inn \frac{27}{5} for y i x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Multipliser -\frac{1}{4} med \frac{27}{5} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Legg sammen \frac{23}{4} og -\frac{27}{20} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=\frac{22}{5}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseligningen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

For å gjøre 8x og 7x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 7 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Forenkle.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Trekk fra 56x+24y=376 fra 56x+14y=322 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Legg sammen 56x og -56x. Leddene 56x og -56x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$14y-24y=322-376$$

Legg sammen 14y og -24y.

$$-10y=322-376$$

Legg sammen 322 og -376.

$$-10y=-54$$

Del begge sidene på -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Sett inn \frac{27}{5} for y i 7x+3y=47. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Multipliser 3 ganger \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Trekk fra \frac{81}{5} fra begge sider av ligningen.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Del begge sidene på 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$