Issolvi {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 5y miż-żewġ naħat.

$$x-5y=5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-5y=5$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=5y+5$$

Issostitwixxi 5+5y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Immultiplika 6 b'5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Żid 30y ma' -4y.

$$26y+30=7$$

Naqqas 30 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$26y=-23$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Issostitwixxi -\frac{23}{26} għal y f'x=5y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Immultiplika 5 b'-\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Żid 5 ma' -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 5y miż-żewġ naħat.

$$x-5y=5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 5y miż-żewġ naħat.

$$x-5y=5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Biex tagħmel x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Issimplifika.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Naqqas 6x-4y=7 minn 6x-30y=30 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-30y+4y=30-7$$

Żid -30y ma' 4y.

$$-26y=30-7$$

Żid 30 ma' -7.

$$-26y=23$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Issostitwixxi -\frac{23}{26} għal y f'6x-4y=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Immultiplika -4 b'-\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Naqqas \frac{46}{13} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$