{l}{x=5y+5}{6x-4y=7} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5y वजा करा.

$$x-5y=5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-5y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$x=5y+5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 5+5y चा विकल्प वापरा, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

5+5y ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$30y+30-4y=7$$

30y ते -4y जोडा.

$$26y+30=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 30 वजा करा.

$$26y=-23$$

दोन्ही बाजूंना 26 ने विभागा.

$$y=-\frac{23}{26}$$

x=5y+5 मध्ये y साठी -\frac{23}{26} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

-\frac{23}{26} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

5 ते -\frac{115}{26} जोडा.

$$x=\frac{15}{26}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5y वजा करा.

$$x-5y=5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5y वजा करा.

$$x-5y=5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

सरलीकृत करा.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x-30y=30 मधून 6x-4y=7 वजा करा.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-30y+4y=30-7$$

-30y ते 4y जोडा.

$$-26y=30-7$$

30 ते -7 जोडा.

$$-26y=23$$

दोन्ही बाजूंना -26 ने विभागा.

$$y=-\frac{23}{26}$$

6x-4y=7 मध्ये y साठी -\frac{23}{26} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

-\frac{23}{26} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{46}{13} वजा करा.

$$6x=\frac{45}{13}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{15}{26}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$