Решете {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Реши за x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 5y од двете страни.

$$x-5y=5$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$x-5y=5$$

Додавање на 5y на двете страни на равенката.

$$x=5y+5$$

Заменете го x со 5+5y во другата равенка, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Множење на 6 со 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Собирање на 30y и -4y.

$$26y+30=7$$

Одземање на 30 од двете страни на равенката.

$$26y=-23$$

Поделете ги двете страни со 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Заменете го y со -\frac{23}{26} во x=5y+5. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Множење на 5 со -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Собирање на 5 и -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Системот е решен сега.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 5y од двете страни.

$$x-5y=5$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 5y од двете страни.

$$x-5y=5$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

За да ги направите x и 6x исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со 6 и сите членови од двете страни на втората со 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Поедноставување.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Одземете 6x-4y=7 од 6x-30y=30 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Собирање на 6x и -6x. Термините 6x и -6x се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$-30y+4y=30-7$$

Собирање на -30y и 4y.

$$-26y=30-7$$

Собирање на 30 и -7.

$$-26y=23$$

Поделете ги двете страни со -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Заменете го y со -\frac{23}{26} во 6x-4y=7. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Множење на -4 со -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Одземање на \frac{46}{13} од двете страни на равенката.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Поделете ги двете страни со 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Системот е решен сега.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$