다음을 풀어보세요: {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 5y을(를) 뺍니다.

$$x-5y=5$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-5y=5$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$x=5y+5$$

다른 수식 6x-4y=7에서 5+5y을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

6에 5+5y을(를) 곱합니다.

$$30y+30-4y=7$$

30y을(를) -4y에 추가합니다.

$$26y+30=7$$

수식의 양쪽에서 30을(를) 뺍니다.

$$26y=-23$$

양쪽을 26(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{23}{26}$$

x=5y+5에서 y을(를) -\frac{23}{26}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

5에 -\frac{23}{26}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

5을(를) -\frac{115}{26}에 추가합니다.

$$x=\frac{15}{26}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 5y을(를) 뺍니다.

$$x-5y=5$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 5y을(를) 뺍니다.

$$x-5y=5$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

단순화합니다.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x-30y=30에서 6x-4y=7을(를) 뺍니다.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-30y+4y=30-7$$

-30y을(를) 4y에 추가합니다.

$$-26y=30-7$$

30을(를) -7에 추가합니다.

$$-26y=23$$

양쪽을 -26(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{23}{26}$$

6x-4y=7에서 y을(를) -\frac{23}{26}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

-4에 -\frac{23}{26}을(를) 곱합니다.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{46}{13}을(를) 뺍니다.

$$6x=\frac{45}{13}$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{15}{26}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$