z^6-z^3+1=0 megoldása

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

t behelyettesítése z^{3} helyére.

$$t^{2}-t+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Mivel z=t^{3}, a megoldásokat úgy kapjuk meg, hogy megoldjuk az egyenletet minden t tagra.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$