{8x+2y=46}{7x+3y=47} megoldása

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$8x+2y=46$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2y.

$$8x=-2y+46$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{8} és -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-y+23}{4} értéket x helyére a másik, 7x+3y=47 egyenletben.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Összeszorozzuk a következőket: 7 és \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{7y}{4} és 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{161}{4}.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{5}{4}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=\frac{27}{5}$$

A(z) x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{27}{5}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{4} és \frac{27}{5}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

\frac{23}{4} és -\frac{27}{20} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{22}{5}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

8x és 7x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 7, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Egyszerűsítünk.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

56x+24y=376 kivonása a következőből: 56x+14y=322: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Összeadjuk a következőket: 56x és -56x. 56x és -56x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$14y-24y=322-376$$

Összeadjuk a következőket: 14y és -24y.

$$-10y=322-376$$

Összeadjuk a következőket: 322 és -376.

$$-10y=-54$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

A(z) 7x+3y=47 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{27}{5}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{81}{5}.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$