z^3+3z^2+4z-8=0 megoldása

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

Megoldás a(z) z változóra (complex solution)

$$z=-2-2i$$

$$z=1$$

$$z=-2+2i$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -8 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$z=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) z-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) z^{3}+3z^{2}+4z-8 értéket a(z) z-1 értékkel. Az eredmény z^{2}+4z+8. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) 8 értéket c-be a megoldóképletben.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (z^{2}+4z+8=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$z=-2-2i z=-2+2i$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$z=1 z=-2-2i z=-2+2i$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z=1$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -8 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$z=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) z-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) z^{3}+3z^{2}+4z-8 értéket a(z) z-1 értékkel. Az eredmény z^{2}+4z+8. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) 8 értéket c-be a megoldóképletben.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$z\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$z=1$$