z^2+4z+5=0 megoldása

$$z ^ { 2 } + 4 z + 5 = 0$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z=-2+i$$

$$z=-2-i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$z^{2}+4z+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16-20}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -20.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-4}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -4.

$$z=\frac{-4±2i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-4±2i}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 2i.

$$z=\frac{-4+2i}{2}$$

-4+2i elosztása a következővel: 2.

$$z=-2+i$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-4±2i}{2}). ± előjele negatív. 2i kivonása a következőből: -4.

$$z=\frac{-4-2i}{2}$$

-4-2i elosztása a következővel: 2.

$$z=-2-i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=-2+i z=-2-i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$z^{2}+4z+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$z^{2}+4z+5-5=-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$z^{2}+4z=-5$$

Elosztjuk a(z) 4 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 2. Ezután hozzáadjuk 2 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}+4z+2^{2}=-5+2^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$z^{2}+4z+4=-5+4$$

Összeadjuk a következőket: -5 és 4.

$$z^{2}+4z+4=-1$$

Tényezőkre z^{2}+4z+4. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(z+2\right)^{2}=-1$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z+2\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Egyszerűsítünk.

$$z+2=i z+2=-i$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$z=-2+i z=-2-i$$