z^2+2/5z+1=0 megoldása

$$z ^ { 2 } + \frac { 2 } { 5 } z + 1 = 0$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}\approx -0,2+0,979795897i$$

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}\approx -0,2-0,979795897i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) \frac{2}{5} értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-4}}{2}$$

A(z) \frac{2}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\frac{4}{25}-4}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: \frac{4}{25} és -4.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{-\frac{96}{25}}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -\frac{96}{25}.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -\frac{2}{5} és \frac{4i\sqrt{6}}{5}.

$$z=\frac{-2+4\sqrt{6}i}{2\times 5}$$

\frac{-2+4i\sqrt{6}}{5} elosztása a következővel: 2.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}). ± előjele negatív. \frac{4i\sqrt{6}}{5} kivonása a következőből: -\frac{2}{5}.

$$z=\frac{-4\sqrt{6}i-2}{2\times 5}$$

\frac{-2-4i\sqrt{6}}{5} elosztása a következővel: 2.

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z=-1$$

Elosztjuk a(z) \frac{2}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-1+\frac{1}{25}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{1}{25}.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-\frac{24}{25}$$

Tényezőkre z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{24}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$z+\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{6}i}{5} z+\frac{1}{5}=-\frac{2\sqrt{6}i}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{5}.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$