y^4-5y^2+4 megoldása

$$y ^ { 4 } - 5 y ^ { 2 } + 4$$

Szorzattá alakítás

$$\left(y-2\right)\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y+2\right)$$

A megoldás lépései

A kifejezés tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$y^{4}-5y^{2}+4=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 4 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$y=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) y-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) y^{4}-5y^{2}+4 értéket a(z) y-1 értékkel. Az eredmény y^{3}+y^{2}-4y-4. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$y^{3}+y^{2}-4y-4=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -4 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$y=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) y-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) y^{3}+y^{2}-4y-4 értéket a(z) y+1 értékkel. Az eredmény y^{2}-4. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$y^{2}-4=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) -4 értéket c-be a megoldóképletben.

$$y=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$y=\frac{0±4}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (y^{2}-4=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$y=-2 y=2$$

A tényezőkre bontott kifejezés újraírása az eredményül kapott gyökökkel.

$$\left(y-2\right)\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y+2\right)$$

Kiértékelés

$$y^{4}-5y^{2}+4$$