y^2-17y+30=0 megoldása

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y=2$$

$$y=15$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) y^{2}-17y+30 kifejezést a(z) y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-17 ab=30$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -17.

$$a=-15 b=-2$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(y+a\right)\left(y+b\right) kifejezést.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához y-15=0 és y-2=0.

$$y=15 y=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk y^{2}+ay+by+30 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -17.

$$a=-15 b=-2$$

Átírjuk az értéket (y^{2}-17y+30) \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right) alakban.

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Kiemeljük a(z) y tényezőt az első, a(z) -2 tényezőt pedig a második csoportban.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) y-15 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához y-15=0 és y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -17 értéket b-be és a(z) 30 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -17.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 289 és -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

-17 ellentettje 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{17±13}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 17 és 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

30 elosztása a következővel: 2.

$$y=15$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{17±13}{2}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

4 elosztása a következővel: 2.

$$y=2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=15 y=2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 30.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Ha kivonjuk a(z) 30 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$y^{2}-17y=-30$$

Elosztjuk a(z) -17 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{17}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{17}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{17}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -30 és \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

A(z) y^{2}-17y+\frac{289}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{17}{2}.

$$y=15 y=2$$