y^2-10y+16=0 megoldása

$$y ^ { 2 } - 10 y + 16 = 0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y=2$$

$$y=8$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) y^{2}-10y+16 kifejezést a(z) y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-10 ab=16$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 16.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -10.

$$a=-8 b=-2$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(y+a\right)\left(y+b\right) kifejezést.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához y-8=0 és y-2=0.

$$y=8 y=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk y^{2}+ay+by+16 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-10 ab=1\times 16=16$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 16.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -10.

$$a=-8 b=-2$$

Átírjuk az értéket (y^{2}-10y+16) \left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right) alakban.

$$\left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right)$$

Kiemeljük a(z) y tényezőt az első, a(z) -2 tényezőt pedig a második csoportban.

$$y\left(y-8\right)-2\left(y-8\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) y-8 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához y-8=0 és y-2=0.

$$y=8 y=2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$y^{2}-10y+16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -10 értéket b-be és a(z) 16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -10.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 16}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 16.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-64}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és -64.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 36.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±6}{2}$$

-10 ellentettje 10.

$$y=\frac{10±6}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{10±6}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 10 és 6.

$$y=\frac{16}{2}$$

16 elosztása a következővel: 2.

$$y=8$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{10±6}{2}). ± előjele negatív. 6 kivonása a következőből: 10.

$$y=\frac{4}{2}$$

4 elosztása a következővel: 2.

$$y=2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=8 y=2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$y^{2}-10y+16=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 16.

$$y^{2}-10y+16-16=-16$$

Ha kivonjuk a(z) 16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$y^{2}-10y=-16$$

Elosztjuk a(z) -10 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -5. Ezután hozzáadjuk -5 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=-16+\left(-5\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$y^{2}-10y+25=-16+25$$

Összeadjuk a következőket: -16 és 25.

$$y^{2}-10y+25=9$$

A(z) y^{2}-10y+25 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(y-5\right)^{2}=9$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Egyszerűsítünk.

$$y-5=3 y-5=-3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$y=8 y=2$$