y=x+5;quady=3-x megoldása

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Megoldás a(z) y, x változóra

$$x=-1$$

$$y=4$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$y-x=5$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x.

$$y+x=3$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$y-x=5,y+x=3$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) y változót úgy, hogy a(z) y változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$y-x=5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: x.

$$y=x+5$$

Behelyettesítjük a(z) x+5 értéket y helyére a másik, y+x=3 egyenletben.

$$x+5+x=3$$

Összeadjuk a következőket: x és x.

$$2x+5=3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$2x=-2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=-1$$

A(z) y=x+5 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y=-1+5$$

Összeadjuk a következőket: 5 és -1.

$$y=4$$

A rendszer megoldva.

$$y=4,x=-1$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$y-x=5$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x.

$$y+x=3$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$y-x=5,y+x=3$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) y és x elemeket.

$$y=4,x=-1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$y-x=5$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x.

$$y+x=3$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$y-x=5,y+x=3$$

y+x=3 kivonása a következőből: y-x=5: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$y-y-x-x=5-3$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-x-x=5-3$$

Összeadjuk a következőket: -x és -x.

$$-2x=5-3$$

Összeadjuk a következőket: 5 és -3.

$$-2x=2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$x=-1$$

A(z) y+x=3 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y-1=3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$y=4$$

A rendszer megoldva.

$$y=4,x=-1$$