y=2x-1text{and}2x+y=3 megoldása

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Megoldás a(z) y, x változóra

$$x=1$$

$$y=1$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=-1$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) y változót úgy, hogy a(z) y változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$y-2x=-1$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2x.

$$y=2x-1$$

Behelyettesítjük a(z) 2x-1 értéket y helyére a másik, y+2x=3 egyenletben.

$$2x-1+2x=3$$

Összeadjuk a következőket: 2x és 2x.

$$4x-1=3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$4x=4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=1$$

A(z) y=2x-1 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y=2-1$$

Összeadjuk a következőket: -1 és 2.

$$y=1$$

A rendszer megoldva.

$$y=1,x=1$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=-1$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) y és x elemeket.

$$y=1,x=1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=-1$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

y+2x=3 kivonása a következőből: y-2x=-1: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-2x-2x=-1-3$$

Összeadjuk a következőket: -2x és -2x.

$$-4x=-1-3$$

Összeadjuk a következőket: -1 és -3.

$$-4x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$x=1$$

A(z) y+2x=3 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y+2=3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$y=1$$

A rendszer megoldva.

$$y=1,x=1$$