y=2x/5text{y}5x+y+5=0 megoldása

$$y = 2 x / 5 \text { y } 5 x + y + 5 = 0$$

Megoldás a(z) y, x változóra

$$x=-\frac{25}{27}\approx -0,925925926$$

$$y=-\frac{10}{27}\approx -0,37037037$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{2x}{5}.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 5.

$$5y-2x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$5x+y=-5$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) y változót úgy, hogy a(z) y változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$5y-2x=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2x.

$$5y=2x$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$y=\frac{1}{5}\times 2x$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{5} és 2x.

$$y=\frac{2}{5}x$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{2x}{5} értéket y helyére a másik, y+5x=-5 egyenletben.

$$\frac{2}{5}x+5x=-5$$

Összeadjuk a következőket: \frac{2x}{5} és 5x.

$$\frac{27}{5}x=-5$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{27}{5}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$x=-\frac{25}{27}$$

A(z) y=\frac{2}{5}x egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: -\frac{25}{27}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y=\frac{2}{5}\left(-\frac{25}{27}\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{2}{5} és -\frac{25}{27}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$y=-\frac{10}{27}$$

A rendszer megoldva.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{2x}{5}.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 5.

$$5y-2x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$5x+y=-5$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 5-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{2}{27}\\-\frac{1}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-5\right)\\\frac{5}{27}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{27}\\-\frac{25}{27}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) y és x elemeket.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{2x}{5}.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 5.

$$5y-2x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$5x+y=-5$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

5y és y egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 5.

$$5y-2x=0,5y+5\times 5x=5\left(-5\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$5y-2x=0,5y+25x=-25$$

5y+25x=-25 kivonása a következőből: 5y-2x=0: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$5y-5y-2x-25x=25$$

Összeadjuk a következőket: 5y és -5y. 5y és -5y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-2x-25x=25$$

Összeadjuk a következőket: -2x és -25x.

$$-27x=25$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -27.

$$x=-\frac{25}{27}$$

A(z) y+5x=-5 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: -\frac{25}{27}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y+5\left(-\frac{25}{27}\right)=-5$$

Összeszorozzuk a következőket: 5 és -\frac{25}{27}.

$$y-\frac{125}{27}=-5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{125}{27}.

$$y=-\frac{10}{27}$$

A rendszer megoldva.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$