y=-3/2x;quady=-2-1/2x megoldása

$$y = - \frac { 3 } { 2 } x ; \quad y = - 2 - \frac { 1 } { 2 } x$$

Megoldás a(z) y, x változóra

$$x=2$$

$$y=-3$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: \frac{3}{2}x.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: \frac{1}{2}x.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) y változót úgy, hogy a(z) y változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3x}{2}.

$$y=-\frac{3}{2}x$$

Behelyettesítjük a(z) -\frac{3x}{2} értéket y helyére a másik, y+\frac{1}{2}x=-2 egyenletben.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x=-2$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{3x}{2} és \frac{x}{2}.

$$-x=-2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$x=2$$

A(z) y=-\frac{3}{2}x egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y=-\frac{3}{2}\times 2$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{3}{2} és 2.

$$y=-3$$

A rendszer megoldva.

$$y=-3,x=2$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: \frac{3}{2}x.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: \frac{1}{2}x.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-2\right)\\-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) y és x elemeket.

$$y=-3,x=2$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: \frac{3}{2}x.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: \frac{1}{2}x.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

y+\frac{1}{2}x=-2 kivonása a következőből: y+\frac{3}{2}x=0: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$y-y+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Összeadjuk a következőket: \frac{3x}{2} és -\frac{x}{2}.

$$x=2$$

A(z) y+\frac{1}{2}x=-2 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y+\frac{1}{2}\times 2=-2$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és 2.

$$y+1=-2$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$y=-3$$

A rendszer megoldva.

$$y=-3,x=2$$