y=4/3x-28/3;quady=2x+8 megoldása

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Megoldás a(z) y, x változóra

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{4}{3}x.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=8$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) y változót úgy, hogy a(z) y változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4x}{3}.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-28+4x}{3} értéket y helyére a másik, y-2x=8 egyenletben.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Összeadjuk a következőket: \frac{4x}{3} és -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{28}{3}.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: -\frac{2}{3}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$x=-26$$

A(z) y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3} egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: -26. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{4}{3} és -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

-\frac{28}{3} és -\frac{104}{3} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$y=-44$$

A rendszer megoldva.

$$y=-44,x=-26$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{4}{3}x.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=8$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) y és x elemeket.

$$y=-44,x=-26$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{4}{3}x.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=8$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

y-2x=8 kivonása a következőből: y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{4x}{3} és 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{28}{3} és -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{2}{3}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$x=-26$$

A(z) y-2x=8 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: -26. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és -26.

$$y+52=8$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 52.

$$y=-44$$

A rendszer megoldva.

$$y=-44,x=-26$$