y=1/3x;quady=60-3x megoldása

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Megoldás a(z) y, x változóra

$$x=18$$

$$y=6$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{1}{3}x.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3x.

$$y+3x=60$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) y változót úgy, hogy a(z) y változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{x}{3}.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{x}{3} értéket y helyére a másik, y+3x=60 egyenletben.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Összeadjuk a következőket: \frac{x}{3} és 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{10}{3}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$x=18$$

A(z) y=\frac{1}{3}x egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 18. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és 18.

$$y=6$$

A rendszer megoldva.

$$y=6,x=18$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{1}{3}x.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3x.

$$y+3x=60$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) y és x elemeket.

$$y=6,x=18$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{1}{3}x.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3x.

$$y+3x=60$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

y+3x=60 kivonása a következőből: y-\frac{1}{3}x=0: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{x}{3} és -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: -\frac{10}{3}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$x=18$$

A(z) y+3x=60 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 18. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y+3\times 18=60$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és 18.

$$y+54=60$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 54.

$$y=6$$

A rendszer megoldva.

$$y=6,x=18$$