x=-16x^2+81x+5 megoldása

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5,061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0,061737691$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 16x^{2}.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 81x.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Összevonjuk a következőket: x és -81x. Az eredmény -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5.

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$16x^{2}-80x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 16 értéket a-ba, a(z) -80 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -64 és -5.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

Összeadjuk a következőket: 6400 és 320.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 6720.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

-80 ellentettje 80.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 16.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 80 és 8\sqrt{105}.

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

80+8\sqrt{105} elosztása a következővel: 32.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}). ± előjele negatív. 8\sqrt{105} kivonása a következőből: 80.

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

80-8\sqrt{105} elosztása a következővel: 32.

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 16x^{2}.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 81x.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Összevonjuk a következőket: x és -81x. Az eredmény -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$16x^{2}-80x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 16.

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

A(z) 16 értékkel való osztás eltünteti a(z) 16 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

-80 elosztása a következővel: 16.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

Elosztjuk a(z) -5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

\frac{5}{16} és \frac{25}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$