x=(2x-3)*(2x+3)/4x^2-16x+15 megoldása

$$x= \frac{ (2x-3) \times (2x+3) }{ 4 { x }^{ 2 } -16x+15 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{73} + 7}{4} \approx 3,886000936$$

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}\approx -0,386000936$$

A megoldás lépései

Vegyük a következőt: \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{\left(2x\right)^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Kifejtjük a következőt: \left(2x\right)^{2}.

$$x=\frac{2^{2}x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Kiszámoljuk a(z) 2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$x=\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}=0$$

Szorzattá alakítjuk a(z) 4x^{2}-16x+15 kifejezést.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: x és \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Mivel \frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} és \frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Elvégezzük a képletben (x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Összevonjuk a kifejezésben (4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{4x^{3}-20x^{2}+15x+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: \frac{3}{2},\frac{5}{2}. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: \left(2x-5\right)\left(2x-3\right).

$$4x^{3}-20x^{2}+15x+9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 9 állandónak, és q osztója a(z) 4 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=\frac{3}{2}$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 4x^{3}-20x^{2}+15x+9 értéket a(z) 2\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x-3 értékkel. Az eredmény 2x^{2}-7x-3. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$2x^{2}-7x-3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{7±\sqrt{73}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (2x^{2}-7x-3=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

Azon értékek eltávolítása, amelyeket a változó nem vehet fel.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

A változó (x) értéke nem lehet \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}$$