x-y=5text{and}5y-4x=7 megoldása

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=32$$

$$y=27$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x-y=5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: y.

$$x=y+5$$

Behelyettesítjük a(z) y+5 értéket x helyére a másik, -4x+5y=7 egyenletben.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Összeadjuk a következőket: -4y és 5y.

$$y-20=7$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 20.

$$y=27$$

A(z) x=y+5 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 27. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=27+5$$

Összeadjuk a következőket: 5 és 27.

$$x=32$$

A rendszer megoldva.

$$x=32,y=27$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=32,y=27$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

x és -4x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -4, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Egyszerűsítünk.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

-4x+5y=7 kivonása a következőből: -4x+4y=-20: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Összeadjuk a következőket: -4x és 4x. -4x és 4x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$4y-5y=-20-7$$

Összeadjuk a következőket: 4y és -5y.

$$-y=-20-7$$

Összeadjuk a következőket: -20 és -7.

$$-y=-27$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$y=27$$

A(z) -4x+5y=7 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 27. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-4x+5\times 27=7$$

Összeszorozzuk a következőket: 5 és 27.

$$-4x+135=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 135.

$$-4x=-128$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$x=32$$

A rendszer megoldva.

$$x=32,y=27$$