x-3y=7text{and}3x+3y=9 megoldása

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=4$$

$$y=-1$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x-3y=7$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3y.

$$x=3y+7$$

Behelyettesítjük a(z) 3y+7 értéket x helyére a másik, 3x+3y=9 egyenletben.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Összeadjuk a következőket: 9y és 3y.

$$12y+21=9$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 21.

$$12y=-12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$y=-1$$

A(z) x=3y+7 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és -1.

$$x=-3+7$$

Összeadjuk a következőket: 7 és -3.

$$x=4$$

A rendszer megoldva.

$$x=4,y=-1$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=4,y=-1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

x és 3x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 3, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Egyszerűsítünk.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

3x+3y=9 kivonása a következőből: 3x-9y=21: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Összeadjuk a következőket: 3x és -3x. 3x és -3x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-9y-3y=21-9$$

Összeadjuk a következőket: -9y és -3y.

$$-12y=21-9$$

Összeadjuk a következőket: 21 és -9.

$$-12y=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -12.

$$y=-1$$

A(z) 3x+3y=9 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és -1.

$$3x-3=9$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$3x=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x=4$$

A rendszer megoldva.

$$x=4,y=-1$$