x^5+5x^4+7x^3-x^2-8x-4 megoldása

$$x ^ { 5 } + 5 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 8 x - 4$$

Szorzattá alakítás

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}$$

A megoldás lépései

A kifejezés tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{5}+5x^{4}+7x^{3}-x^{2}-8x-4=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -4 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{5}+5x^{4}+7x^{3}-x^{2}-8x-4 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 4 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény x^{3}+5x^{2}+8x+4. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+5x^{2}+8x+4=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 4 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+5x^{2}+8x+4 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény x^{2}+4x+4. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+4x+4=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-4±0}{2}$$

Azonosak a megoldások.

$$x=-2$$

A tényezőkre bontott kifejezés újraírása az eredményül kapott gyökökkel.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}$$

Kiértékelés

$$\left(x-1\right)\left(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right)^{2}$$