x^4-x^3-15x^2+9x+54 megoldása

$$x ^ { 4 } - x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } + 9 x + 54$$

Szorzattá alakítás

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)^{2}$$

A megoldás lépései

A kifejezés tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{4}-x^{3}-15x^{2}+9x+54=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 54 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±54,±27,±18,±9,±6,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-x^{3}-15x^{2}+9x+54 értéket a(z) x+2 értékkel. Az eredmény x^{3}-3x^{2}-9x+27. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}-3x^{2}-9x+27=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 27 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±27,±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-3x^{2}-9x+27 értéket a(z) x-3 értékkel. Az eredmény x^{2}-9. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-9=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-9\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±6}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}-9=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-3 x=3$$

A tényezőkre bontott kifejezés újraírása az eredményül kapott gyökökkel.

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)^{2}$$

Kiértékelés

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)^{2}$$