x^4-x^2-12 megoldása

$$x ^ { 4 } - x ^ { 2 } - 12$$

Szorzattá alakítás

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

A megoldás lépései

A kifejezés tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{4}-x^{2}-12=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -12 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±12,±6,±4,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-x^{2}-12 értéket a(z) x-2 értékkel. Az eredmény x^{3}+2x^{2}+3x+6. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+2x^{2}+3x+6=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 6 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±6,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+2x^{2}+3x+6 értéket a(z) x+2 értékkel. Az eredmény x^{2}+3. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±\sqrt{-12}}{2}$$

A(z) x^{2}+3 polinom nincs tényezőkre bontva, mert nem rendelkezik racionális gyökökkel.

$$x^{2}+3$$

A tényezőkre bontott kifejezés újraírása az eredményül kapott gyökökkel.

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

Kiértékelés

$$x^{4}-x^{2}-12$$