x^4-6x^3-44x^2-58x-21=0 megoldása

$$x ^ { 4 } - 6 x ^ { 3 } - 44 x ^ { 2 } - 58 x - 21 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=4\sqrt{2}+5\approx 10,656854249$$

$$x=5-4\sqrt{2}\approx -0,656854249$$

$$x=-1$$

$$x=-3$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -21 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±21,±7,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-6x^{3}-44x^{2}-58x-21 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény x^{3}-7x^{2}-37x-21. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}-7x^{2}-37x-21=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -21 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±21,±7,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-7x^{2}-37x-21 értéket a(z) x+3 értékkel. Az eredmény x^{2}-10x-7. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-10x-7=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -10 értéket b-be és a(z) -7 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 1\left(-7\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{10±8\sqrt{2}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}-10x-7=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=5-4\sqrt{2} x=4\sqrt{2}+5$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-1 x=-3 x=5-4\sqrt{2} x=4\sqrt{2}+5$$