x^4-4x^3-25x^2+16x+84=0 megoldása

$$x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } - 25 x ^ { 2 } + 16 x + 84 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2$$

$$x=7$$

$$x=-2$$

$$x=-3$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 84 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±84,±42,±28,±21,±14,±12,±7,±6,±4,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-4x^{3}-25x^{2}+16x+84 értéket a(z) x-2 értékkel. Az eredmény x^{3}-2x^{2}-29x-42. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}-2x^{2}-29x-42=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -42 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-2x^{2}-29x-42 értéket a(z) x+2 értékkel. Az eredmény x^{2}-4x-21. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) -21 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}-4x-21=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-3 x=7$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=2 x=-2 x=-3 x=7$$