x^4-3x^3-x^2-3x+18=0 megoldása

$$x ^ { 4 } - 3 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 3 x + 18 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=2$$

$$x=3$$

$$x=-\sqrt{2}i-1\approx -1-1,414213562i$$

$$x=-1+\sqrt{2}i\approx -1+1,414213562i$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 18 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±18,±9,±6,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-3x^{3}-x^{2}-3x+18 értéket a(z) x-2 értékkel. Az eredmény x^{3}-x^{2}-3x-9. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}-x^{2}-3x-9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -9 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-x^{2}-3x-9 értéket a(z) x-3 értékkel. Az eredmény x^{2}+2x+3. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}+2x+3=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\sqrt{2}i-1 x=-1+\sqrt{2}i$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=2 x=3 x=-\sqrt{2}i-1 x=-1+\sqrt{2}i$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2$$

$$x=3$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 18 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±18,±9,±6,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-3x^{3}-x^{2}-3x+18 értéket a(z) x-2 értékkel. Az eredmény x^{3}-x^{2}-3x-9. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}-x^{2}-3x-9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -9 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-x^{2}-3x-9 értéket a(z) x-3 értékkel. Az eredmény x^{2}+2x+3. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=2 x=3$$