x^4-2x^2+1 megoldása

$$x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } + 1$$

Szorzattá alakítás

$$\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

A megoldás lépései

A kifejezés tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{4}-2x^{2}+1=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 1 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-2x^{2}+1 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{3}+x^{2}-x-1. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+x^{2}-x-1=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -1 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+x^{2}-x-1 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{2}+2x+1. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+2x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-2±0}{2}$$

Azonosak a megoldások.

$$x=-1$$

A tényezőkre bontott kifejezés újraírása az eredményül kapott gyökökkel.

$$\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kiértékelés

$$\left(x^{2}-1\right)^{2}$$