x^4=(2x-3)^2 megoldása

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1,414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1,414213562i$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x-3\right)^{2}).

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4x^{2}.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12x.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -9 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-4x^{2}+12x-9 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{3}+x^{2}-3x+9. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 9 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+x^{2}-3x+9 értéket a(z) x+3 értékkel. Az eredmény x^{2}-2x+3. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}-2x+3=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-3$$

$$x=1$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x-3\right)^{2}).

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4x^{2}.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12x.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -9 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-4x^{2}+12x-9 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{3}+x^{2}-3x+9. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 9 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+x^{2}-3x+9 értéket a(z) x+3 értékkel. Az eredmény x^{2}-2x+3. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-3$$