x^3+3x^2-2x-6=0 megoldása

$$x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 2 x - 6 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{2}\approx 1,414213562$$

$$x=-\sqrt{2}\approx -1,414213562$$

$$x=-3$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -6 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±6,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+3x^{2}-2x-6 értéket a(z) x+3 értékkel. Az eredmény x^{2}-2. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-2=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±2\sqrt{2}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}-2=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\sqrt{2} x=\sqrt{2}$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-3 x=-\sqrt{2} x=\sqrt{2}$$