x^2-x-7=20 megoldása

$$x ^ { 2 } - x - 7 = 20$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{109} + 1}{2} \approx 5,720153254$$

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}\approx -4,720153254$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-x-7=20$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 20.

$$x^{2}-x-7-20=20-20$$

Ha kivonjuk a(z) 20 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-x-7-20=0$$

20 kivonása a következőből: -7.

$$x^{2}-x-27=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -27 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-27\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -27.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+108}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 108.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{109}}{2}$$

-1 ellentettje 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{109}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±\sqrt{109}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±\sqrt{109}}{2}). ± előjele negatív. \sqrt{109} kivonása a következőből: 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-x-7=20$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$x^{2}-x-7-\left(-7\right)=20-\left(-7\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-x=20-\left(-7\right)$$

-7 kivonása a következőből: 20.

$$x^{2}-x=27$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=27+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 27 és \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{109}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{109}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{109}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{109}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$