x^2-8x=20 megoldása

$$x ^ { 2 } - 8 x = 20$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-2$$

$$x=10$$

A tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 20.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-8x-20 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-8 ab=-20$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=-10 b=2$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-10=0 és x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 20.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-20 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-8 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=-10 b=2$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-8x-20) \left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right) alakban.

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 2 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-10\right)+2\left(x-10\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-10 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-10=0 és x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-8x=20$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 20.

$$x^{2}-8x-20=20-20$$

Ha kivonjuk a(z) 20 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) -20 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-20\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-20\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -20.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±12}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±12}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 12.

$$x=\frac{20}{2}$$

20 elosztása a következővel: 2.

$$x=10$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±12}{2}). ± előjele negatív. 12 kivonása a következőből: 8.

$$x=-\frac{4}{2}$$

-4 elosztása a következővel: 2.

$$x=-2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=10 x=-2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-8x=20$$

Elosztjuk a(z) -8 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -4. Ezután hozzáadjuk -4 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

Összeadjuk a következőket: 20 és 16.

$$x^{2}-8x+16=36$$

A(z) x^{2}-8x+16 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-4=6 x-4=-6$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$x=10 x=-2$$