x^2-8x+15=0 megoldása

$$x ^ { 2 } - 8 x + 15 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=3$$

$$x=5$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához x^{2}-8x+15 a képlet használatával x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-8 ab=15$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=-5 b=-3$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-5=0 és a x-3=0.

$$x=5 x=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=-5 b=-3$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-8x+15) \left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right) alakban.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

A x a második csoportban lévő első és -3 faktort.

$$x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-5=0 és a x-3=0.

$$x=5 x=3$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-8x+15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) 15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és -60.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±2}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±2}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 2.

$$x=\frac{10}{2}$$

10 elosztása a következővel: 2.

$$x=5$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±2}{2}). ± előjele negatív. 2 kivonása a következőből: 8.

$$x=\frac{6}{2}$$

6 elosztása a következővel: 2.

$$x=3$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=5 x=3$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-8x+15=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 15.

$$x^{2}-8x+15-15=-15$$

Ha kivonjuk a(z) 15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-8x=-15$$

Elosztjuk a(z) -8 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -4. Ezután hozzáadjuk -4 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x^{2}-8x+16=-15+16$$

Összeadjuk a következőket: -15 és 16.

$$x^{2}-8x+16=1$$

Tényezőkre x^{2}-8x+16. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-4\right)^{2}=1$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-4=1 x-4=-1$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$x=5 x=3$$