x^2-6x+2>0 megoldása

$$x ^ { 2 } - 6 x + 2 > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\infty,3-\sqrt{7}\right)\cup \left(\sqrt{7}+3,\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$x^{2}-6x+2=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -6 értéket b-be és a(z) 2 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\sqrt{7}+3 x=3-\sqrt{7}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{7}\right)\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (x-\left(\sqrt{7}+3\right) és x-\left(3-\sqrt{7}\right)) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy x-\left(\sqrt{7}+3\right) és x-\left(3-\sqrt{7}\right) eredménye egyaránt negatív.

$$x-\left(\sqrt{7}+3\right)<0 x-\left(3-\sqrt{7}\right)<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x<3-\sqrt{7}.

$$x<3-\sqrt{7}$$

Tegyük fel, hogy x-\left(\sqrt{7}+3\right) és x-\left(3-\sqrt{7}\right) eredménye egyaránt pozitív.

$$x-\left(3-\sqrt{7}\right)>0 x-\left(\sqrt{7}+3\right)>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x>\sqrt{7}+3.

$$x>\sqrt{7}+3$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x<3-\sqrt{7}\text{; }x>\sqrt{7}+3$$