x^2-5x-10=0 megoldása

$$x ^ { 2 } - 5 x - 10 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{65} + 5}{2} \approx 6,531128874$$

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}\approx -1,531128874$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-5x-10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) -10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-10\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+40}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 40.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{65}}{2}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}). ± előjele negatív. \sqrt{65} kivonása a következőből: 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-5x-10=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 10.

$$x^{2}-5x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-5x=-\left(-10\right)$$

-10 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}-5x=10$$

Elosztjuk a(z) -5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=10+\frac{25}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 10 és \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{65}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{65}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{65}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{65}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$