x^2-5x+4=0 megoldása

$$x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=1$$

$$x=4$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-5x+4 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-5 ab=4$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -5.

$$a=-4 b=-1$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-4=0 és x-1=0.

$$x=4 x=1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+4 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -5.

$$a=-4 b=-1$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-5x+4) \left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right) alakban.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) -1 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-4=0 és x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±3}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és 3.

$$x=\frac{8}{2}$$

8 elosztása a következővel: 2.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±3}{2}). ± előjele negatív. 3 kivonása a következőből: 5.

$$x=\frac{2}{2}$$

2 elosztása a következővel: 2.

$$x=1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$x^{2}-5x+4-4=-4$$

Ha kivonjuk a(z) 4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-5x=-4$$

Elosztjuk a(z) -5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -4 és \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

A(z) x^{2}-5x+\frac{25}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=4 x=1$$