x^2-3x-180=0 megoldása

$$x ^ { 2 } - 3 x - 180 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-12$$

$$x=15$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-3x-180 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-3 ab=-180$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -3.

$$a=-15 b=12$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-15=0 és x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-180 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -3.

$$a=-15 b=12$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-3x-180) \left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right) alakban.

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 12 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-15\right)+12\left(x-15\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-15 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-15=0 és x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) -180 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 720.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 729.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±27}{2}$$

-3 ellentettje 3.

$$x=\frac{3±27}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±27}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 3 és 27.

$$x=\frac{30}{2}$$

30 elosztása a következővel: 2.

$$x=15$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±27}{2}). ± előjele negatív. 27 kivonása a következőből: 3.

$$x=-\frac{24}{2}$$

-24 elosztása a következővel: 2.

$$x=-12$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=15 x=-12$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 180.

$$x^{2}-3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -180 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-3x=-\left(-180\right)$$

-180 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}-3x=180$$

Elosztjuk a(z) -3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 180 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

A(z) x^{2}-3x+\frac{9}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=15 x=-12$$