x^2-21x-75=0 megoldása

$$x ^ { 2 } - 21 x - 75 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{741} + 21}{2} \approx 24,110657589$$

$$x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}\approx -3,110657589$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-21x-75=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -21 értéket b-be és a(z) -75 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\left(-75\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\left(-75\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -75.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+300}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 441 és 300.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{741}}{2}$$

-21 ellentettje 21.

$$x=\frac{21±\sqrt{741}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{21±\sqrt{741}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 21 és \sqrt{741}.

$$x=\frac{\sqrt{741}+21}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{21±\sqrt{741}}{2}). ± előjele negatív. \sqrt{741} kivonása a következőből: 21.

$$x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{741}+21}{2} x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-21x-75=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 75.

$$x^{2}-21x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -75 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-21x=-\left(-75\right)$$

-75 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}-21x=75$$

Elosztjuk a(z) -21 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{21}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{21}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=75+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{21}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=75+\frac{441}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 75 és \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{741}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{741}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{741}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{\sqrt{741}}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{\sqrt{741}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{21}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{741}+21}{2} x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}$$