x^2-2x-5<0 megoldása

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\left(\sqrt{6}+1\right) és x-\left(1-\sqrt{6}\right)) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\left(\sqrt{6}+1\right) eredménye pozitív, x-\left(1-\sqrt{6}\right) eredménye pedig negatív.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\left(1-\sqrt{6}\right) eredménye pozitív, x-\left(\sqrt{6}+1\right) eredménye pedig negatív.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$