x^2-18x=-65 megoldása

$$x ^ { 2 } - 18 x = - 65$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=5$$

$$x=13$$

A tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 65.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Az egyenlet megoldásához x^{2}-18x+65 a képlet használatával x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-18 ab=65$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -18.

$$a=-13 b=-5$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-13=0 és a x-5=0.

$$x=13 x=5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 65.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+65 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-18 ab=1\times 65=65$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -18.

$$a=-13 b=-5$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-18x+65) \left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right) alakban.

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right)$$

A x a második csoportban lévő első és -5 faktort.

$$x\left(x-13\right)-5\left(x-13\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-13 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-13=0 és a x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-18x=-65$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 65.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=-65-\left(-65\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -65 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=0$$

-65 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -18 értéket b-be és a(z) 65 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 65}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 65.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-260}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 324 és -260.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 64.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±8}{2}$$

-18 ellentettje 18.

$$x=\frac{18±8}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{18±8}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 18 és 8.

$$x=\frac{26}{2}$$

26 elosztása a következővel: 2.

$$x=13$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{18±8}{2}). ± előjele negatív. 8 kivonása a következőből: 18.

$$x=\frac{10}{2}$$

10 elosztása a következővel: 2.

$$x=5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=13 x=5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-18x=-65$$

Elosztjuk a(z) -18 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -9. Ezután hozzáadjuk -9 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-65+\left(-9\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -9.

$$x^{2}-18x+81=-65+81$$

Összeadjuk a következőket: -65 és 81.

$$x^{2}-18x+81=16$$

Tényezőkre x^{2}-18x+81. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-9\right)^{2}=16$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-9=4 x-9=-4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$x=13 x=5$$