x^2-15x+100=0 megoldása

$$x ^ { 2 } - 15 x + 100 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}\approx 7,5+6,614378278i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}\approx 7,5-6,614378278i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-15x+100=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -15 értéket b-be és a(z) 100 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 100}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-400}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 225 és -400.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-175}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -175.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±5\sqrt{7}i}{2}$$

-15 ellentettje 15.

$$x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 15 és 5i\sqrt{7}.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}). ± előjele negatív. 5i\sqrt{7} kivonása a következőből: 15.

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-15x+100=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 100.

$$x^{2}-15x+100-100=-100$$

Ha kivonjuk a(z) 100 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-15x=-100$$

Elosztjuk a(z) -15 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{15}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{15}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{15}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-100+\frac{225}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -100 és \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{175}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{175}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{175}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{7}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{7}i}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{15}{2}.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$