x^2-13x+42=0 megoldása

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=6$$

$$x=7$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-13x+42 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-13 ab=42$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -13.

$$a=-7 b=-6$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-7=0 és x-6=0.

$$x=7 x=6$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+42 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -13.

$$a=-7 b=-6$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-13x+42) \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right) alakban.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) -6 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-7 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-7=0 és x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -13 értéket b-be és a(z) 42 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 169 és -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

-13 ellentettje 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{13±1}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 13 és 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

14 elosztása a következővel: 2.

$$x=7$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{13±1}{2}). ± előjele negatív. 1 kivonása a következőből: 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

12 elosztása a következővel: 2.

$$x=6$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=7 x=6$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 42.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Ha kivonjuk a(z) 42 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-13x=-42$$

Elosztjuk a(z) -13 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{13}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{13}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{13}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -42 és \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

A(z) x^{2}-13x+\frac{169}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{13}{2}.

$$x=7 x=6$$