x^2-12x-9=0 megoldása

$$x ^ { 2 } - 12 x - 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=3\sqrt{5}+6\approx 12,708203932$$

$$x=6-3\sqrt{5}\approx -0,708203932$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -12 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-9\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+36}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 144 és 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{180}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 180.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{5}}{2}$$

-12 ellentettje 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 12 és 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+12}{2}$$

12+6\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=3\sqrt{5}+6$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}). ± előjele negatív. 6\sqrt{5} kivonása a következőből: 12.

$$x=\frac{12-6\sqrt{5}}{2}$$

12-6\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=6-3\sqrt{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$x^{2}-12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-12x=-\left(-9\right)$$

-9 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}-12x=9$$

Elosztjuk a(z) -12 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -6. Ezután hozzáadjuk -6 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=9+\left(-6\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -6.

$$x^{2}-12x+36=9+36$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 36.

$$x^{2}-12x+36=45$$

Tényezőkre x^{2}-12x+36. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-6\right)^{2}=45$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{45}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-6=3\sqrt{5} x-6=-3\sqrt{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 6.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$