x^2-11x=-30 megoldása

$$x ^ { 2 } - 11 x = - 30$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=5$$

$$x=6$$

A tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 30.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Az egyenlet megoldásához x^{2}-11x+30 a képlet használatával x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-11 ab=30$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -11.

$$a=-6 b=-5$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-6=0 és a x-5=0.

$$x=6 x=5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 30.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+30 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-11 ab=1\times 30=30$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -11.

$$a=-6 b=-5$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-11x+30) \left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right) alakban.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right)$$

A x a második csoportban lévő első és -5 faktort.

$$x\left(x-6\right)-5\left(x-6\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-6 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-6=0 és a x-5=0.

$$x=6 x=5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-11x=-30$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 30.

$$x^{2}-11x-\left(-30\right)=-30-\left(-30\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -30 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-11x-\left(-30\right)=0$$

-30 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -11 értéket b-be és a(z) 30 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 30}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 30.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és -120.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±1}{2}$$

-11 ellentettje 11.

$$x=\frac{11±1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±1}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 11 és 1.

$$x=\frac{12}{2}$$

12 elosztása a következővel: 2.

$$x=6$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±1}{2}). ± előjele negatív. 1 kivonása a következőből: 11.

$$x=\frac{10}{2}$$

10 elosztása a következővel: 2.

$$x=5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=6 x=5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-11x=-30$$

Elosztjuk a(z) -11 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-30+\frac{121}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -30 és \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{1}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{2}.

$$x=6 x=5$$