x^2-11x=-28 megoldása

$$x ^ { 2 } - 11 x = - 28$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=4$$

$$x=7$$

A tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 28.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-11x+28 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-11 ab=28$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -11.

$$a=-7 b=-4$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-7=0 és x-4=0.

$$x=7 x=4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 28.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+28 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -11.

$$a=-7 b=-4$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-11x+28) \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right) alakban.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) -4 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-7 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-7=0 és x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-11x=-28$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 28.

$$x^{2}-11x-\left(-28\right)=-28-\left(-28\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -28 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-11x-\left(-28\right)=0$$

-28 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -11 értéket b-be és a(z) 28 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

-11 ellentettje 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±3}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 11 és 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

14 elosztása a következővel: 2.

$$x=7$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±3}{2}). ± előjele negatív. 3 kivonása a következőből: 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

8 elosztása a következővel: 2.

$$x=4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=7 x=4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-11x=-28$$

Elosztjuk a(z) -11 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -28 és \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

A(z) x^{2}-11x+\frac{121}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{2}.

$$x=7 x=4$$