x^2+x-x^2/x-1+1 megoldása

$$x ^ { 2 } + x - \frac { x ^ { 2 } } { x - 1 } + 1$$

Kiértékelés

$$\frac{x^{3}-x^{2}-1}{x-1}$$

A gyors megoldás lépései

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: x^{2}+x+1 és \frac{x-1}{x-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}-\frac{x^{2}}{x-1}$$

Mivel \frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} és \frac{x^{2}}{x-1} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x-1\right)-x^{2}}{x-1}$$

Elvégezzük a képletben (\left(x^{2}+x+1\right)\left(x-1\right)-x^{2}) szereplő szorzásokat.

$$\frac{x^{3}-x^{2}+x^{2}-x+x-1-x^{2}}{x-1}$$

Összevonjuk a kifejezésben (x^{3}-x^{2}+x^{2}-x+x-1-x^{2}) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{x^{3}-x^{2}-1}{x-1}$$

Differenciálás x szerint

$$\frac{2x^{3}-4x^{2}+2x+1}{\left(x-1\right)^{2}}$$

Lépések a hányados deriváltjára vonatkozó szabály használatával

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: x^{2}+x+1 és \frac{x-1}{x-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}-\frac{x^{2}}{x-1})$$

Mivel \frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} és \frac{x^{2}}{x-1} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x-1\right)-x^{2}}{x-1})$$

Elvégezzük a képletben (\left(x^{2}+x+1\right)\left(x-1\right)-x^{2}) szereplő szorzásokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{3}-x^{2}+x^{2}-x+x-1-x^{2}}{x-1})$$

Összevonjuk a kifejezésben (x^{3}-x^{2}+x^{2}-x+x-1-x^{2}) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{3}-x^{2}-1}{x-1})$$

Bármely két differenciálható függvény esetén a két függvény hányadosának deriváltja egyenlő a nevező szorozva a számláló deriváltjával mínusz a számláló szorozva a nevező deriváltjával, majd ez az eredmény osztva a nevező négyzetével.

$$\frac{\left(x^{1}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{3}-x^{2}-1)-\left(x^{3}-x^{2}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1}-1)}{\left(x^{1}-1\right)^{2}}$$

Egy polinom deriváltja a tagok deriváltjainak összege. Bármely konstans tag deriváltja 0. ax^{n} deriváltja nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{1}-1\right)\left(3x^{3-1}+2\left(-1\right)x^{2-1}\right)-\left(x^{3}-x^{2}-1\right)x^{1-1}}{\left(x^{1}-1\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{\left(x^{1}-1\right)\left(3x^{2}-2x^{1}\right)-\left(x^{3}-x^{2}-1\right)x^{0}}{\left(x^{1}-1\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: x^{1}-1 és 3x^{2}-2x^{1}.

$$\frac{x^{1}\times 3x^{2}+x^{1}\left(-2\right)x^{1}-3x^{2}-\left(-2x^{1}\right)-\left(x^{3}-x^{2}-1\right)x^{0}}{\left(x^{1}-1\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: x^{3}-x^{2}-1 és x^{0}.

$$\frac{x^{1}\times 3x^{2}+x^{1}\left(-2\right)x^{1}-3x^{2}-\left(-2x^{1}\right)-\left(x^{3}x^{0}-x^{2}x^{0}-x^{0}\right)}{\left(x^{1}-1\right)^{2}}$$

Azonos alapú hatványok szorzásához összeadjuk a kitevőjüket.

$$\frac{3x^{1+2}-2x^{1+1}-3x^{2}-\left(-2x^{1}\right)-\left(x^{3}-x^{2}-x^{0}\right)}{\left(x^{1}-1\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{3x^{3}-2x^{2}-3x^{2}+2x^{1}-\left(x^{3}-x^{2}-x^{0}\right)}{\left(x^{1}-1\right)^{2}}$$

Összevonjuk az egynemű kifejezéseket.

$$\frac{2x^{3}-x^{2}-3x^{2}+2x^{1}-\left(-x^{0}\right)}{\left(x^{1}-1\right)^{2}}$$

Minden t tagra, t^{1}=t.

$$\frac{2x^{3}-x^{2}-3x^{2}+2x-\left(-x^{0}\right)}{\left(x-1\right)^{2}}$$

Az 0 kivételével minden t tagra, t^{0}=1.

$$\frac{2x^{3}-x^{2}-3x^{2}+2x-\left(-1\right)}{\left(x-1\right)^{2}}$$